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射影几何对偶原理的优越性

发布时间:

第 12 卷 第 2 期

重庆科技学院学报 ( 自然科学版 )

2010 年 2 月

射影几何对偶原理的优越性
赵临龙 刘 娟
( 安康学院 , 安康 725000 )
摘 要 : 在*面射影几何中 , 运用对偶原理解决相关问题具 有 一 定 的 优 越 性 : 可 发 现 新 结 论 ; 简 化 证 明 过 程 ; 揭 示 内

在联系 。 关键词 : 射影几何 ; 欧氏几何 ; 对偶原理 ; 点 ; 线 中图分类号 :O185 文献标识码 :A 文章编号 :1673-1980 (2010 )02-0176-02

1

对偶命题的简述
在欧氏*面几何中 , 人们一直在研究 “ 点 ” 和

△ABC 的三边 AB、BC、CA 或 其 延 长 线 交 于 F、D、E
点 , 那么 (AF/FB )×(BD/DC )×(CE/EA )=1。 塞瓦 (Ceva ) 定理 (CE/EA )×(AF/FB )=1 。 由于 “ 三点共线 ” 与 “ 三线共点 ”, 正好是对偶命 题问题 , 因此梅涅劳斯定理和塞瓦定理构成对偶命 题 , 而且在*面射影中 , 梅涅劳斯逆定理和塞瓦逆定 理也构成对偶命题 。 命题 3 若 有 三 点 F、D 、E 分 别 在 △ABC 的 边 设 O 是 △ABC 内任意一 点 ,AO 、BO 、CO 分别交对边于 D 、E、F, 则 (BD/DC ) ×

“ 线 ” 的结合性命题 。 命题 1 命题 2 任意两点决定一条直线 。 任意两线决定一点 。

我们知道 , 在欧氏*面几何中 , 命题 1 正确 , 命 题 2 不成立 。 然而在*面射影几何中规定 [1]: *行线 相交于一个 “ 无穷远点 ”, 则命题 1 和命题 2 都成 立 。 他们的特征是 , 将第一个命题的 “ 点 ” 和 “ 线 ” 分 别换成第二个命题的 “ 线 ” 和 “ 点 ”。 在*面射影几何中 , 将 “ 点 ” 和 “ 线 ” 称为对偶元 素 。 我们把只涉及点线结合的命题称为射影命题 , 全部射影命题又构成了整个*面射影几何学 。 *面射影几何对偶原理 : 关于*面上元素 ( 点与 直线 ) 的每个射影命题 , 都对应着另一个对偶命题 , 第二个命题由第一个命题得来 , 即将每一个元素换 为其对偶元素 , 如果两个命题之一成立 , 那么另一命 题也成立 。

AB、BC、CA 或其延长线上 , 且满足 (AF/FB)×(BD/ DC)×(CE/EA)=1,则 F、D、E 三点共线 。
命题 3 的对偶命题 如 果 D 、E 、F 分 别 在 三 角 形 ABC 的边 BC、CA 、AB 上 , 且 满 足 (BD/DC ) ×(CE/

EA)×(AF/FB)=1,那么 AD、BE、CF 相交于一点 。
而在欧氏*面几何中 , 有塞瓦定理逆定理 : 如果

D、E、F 分 别 在 三 角 形 ABC 的 边 BC、CA、AB 上 , 且
满足 (BD/DC ) ×(CE/EA ) ×(AF/FB ) =1, 那么 AD 、BE、

CF 相交于一点或*行 。
显然 , 在欧氏*面几何中 , 未能揭示两个逆定理 的内在联系 , 而只有在*面射影中 , 将两个逆定理的 内在本质揭示清楚 , 产生新的结论 。 此时 , 在*面射 影中 , 若塞瓦定理逆定理的直线 AD 、BE、CF *行 , 表示它们相交于一无穷远点 。 射影几何之所以有对偶原理 , 是因为射影*面 如果一条直线与 上没有*行线 , 点和直线的结合关系有了新的变化 ,

2
2.1

对偶命题的优越性
发现新结论 欧氏*面几何中, 人们常常用梅涅劳斯

(Menelaus ) 定 理 证 明 三 点 共 线 , 用 塞 瓦 (Ceva ) 定 理 证明三线共点 。 梅 涅 劳 斯 (Menelaus ) 定 理
收稿日期 :2009-10-18

基金项目 : 安康学院教学改革研究项目 (JG0170401 ); 安康学院科技项目 (2008akxy029 ); 安康学院重点扶持学科 (AZXZ0107 ) 作者简介 : 赵临龙 (1960- ), 男 , 陕西西安人 , 安康学院数学系教授 , 陕西省高师数学教育学会副理事长 , 陕西 省 教 学 名 师 , 研 究 方向为微分方程 、 数学教育 。

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赵临龙 ,刘娟 :射影几何对偶原理的优越性 两直线总相交 , 即相交和*行得到完美的统一 。 对应顶点的连线相会于一点 , 则这两个三角形的对 应边的交点必在同一直线上 。 笛沙格的对偶命题: 如果两个三角形的对应 边的交点在同一直线上 , 则这两个三角形的对应顶 点的联线必定相会于一点 。 显然其正确性毋庸 置 疑 。 这 就 是 对 偶 原 理 的 功 劳 ! 更 有 趣 的 是 ,笛 沙 不 仅 是 笛 沙 格 的 逆 定 理 , 而 且 还 是 笛 沙 格 的自对偶命题 ( 对偶命题与原命题 一致 )。
[3] [3]

2.2

简化证明 对偶原理是射影几何的重要原理 , 证明一个命

题以后其对偶原理也一定成立 , 因此可以达到事半 功倍的作用 。 在欧氏*面几何中 , 人们常常用梅涅劳斯定理 来证明塞瓦定理 。 现在我们知道 , 若梅涅劳斯定理 获得证明 , 那么塞瓦定理自然成立 , 用不着再证明 , 这就达到简化证明的效果 。 如对于梅涅劳斯定理,人们给出极简单的方法 : 过点 A 作 AG∥BC 交 DF 的延长线于 G , 则

这四者的有机统一 , 无不说明数学的魅力所在 。 依据 “ 对偶原理 ”我们可以发现新命题 ,而且此新命题 无须证明,因为其证明性是对偶原理本身所赋予的 ,你 是我的对偶,我也是你的对偶。 对偶原理就像一个纽带 把点和线联系在了一起 ,从而使我们对 “点 ”和 “线 ”又 有了更高层次的认识。 它们之间的变化是那么微妙,堪 称是一门美学艺术。
参考文献

AF/FB =AG/BD ,BD/DC =BD/DC ,CE/EA =DC/AG
三式相乘得 : (AF/FB )×(BD/DC )×(CE/EA )=(AG/BD )× (BD/DC )×(DC/AG )=1 但 Einstei 却称该法为 “ 丑陋的证明 ”。 他认为 : “ 虽然这个证明稍微简单些 , 它却不能令人满意 。 因 为证明中使用了一条辅助线 , 它和要证明的命题的 内容并无关系 , 还有证明无理*サ A , 而命题 关于 A 、B 和 C 的确是对称的 。 ” [4] 因此对于射影几何的对偶命题 ,探讨其 “对偶”的 证明方法,也是一项有趣的工作。 笔者在文献[4]中曾 给出了梅涅劳斯定理和塞瓦定理的“对偶”证明方法。

[1] 朱德祥 , 朱维宗 . 高等几何 ( 第 2 版 )[M]. 北 京 : 高 等 教 育 出
版社 ,2007 :7.

[2] 李 文 铭 . 初 等 几 何 教 学 基 础 [M]. 西 安 : 陕 西 科 学 技 术 出 版
社 ,2003 :6.

[3] 徐颖 , 胡岩伟 . 梅涅劳斯定理和塞瓦定理的应用 [J]. 高师理
科学刊 ,2001 (10 ):7-10.

2.3

揭示内在联系 笛沙格 (Desargues ) 定理 如果两个三角形的

[4] 赵 临 龙 , 张 小 文 . 射 影 几 何 中 的 共 点 线 ( 共 线 点 ) 定 理 的 关
系 [J]. 鞍山师范学院学报 ,2002 (3 ):44-46.

Superiority of Duality Principle in Projective Geometry
ZHAO Lin-long LIU Juan (Ankang University, Ankang 725000) Abstract :In the plane projective geometry, the application of the duality principle to solve issues related to the advantages as follows: Discover new conclusions, simplify the proof and reveal the internal relations. Key words :projective geometry; Euclidean geometry; duality principle; point; line (上接第 175 页)
证明 令 C0={θi∪ψi|θi∈C′,ψi∈ C ″ } , 则 C0 是 eqD 上 的 链 , 进 而 容 易 证 明 对 坌 x ∈ D 有 x ( θi ∪ ψi )= x ( θi )
参考文献

[1] 那 汤 松 . 实 变 函 数 论 [M]. 徐 瑞 云 译 . 北 京 : 高 等 教 育 出 版
社 ,1958.

∪ x ( ψi) , 再 由 μ 的 可 加 性 知 I ( f , C0)= I ( f , C ′ )+ I ( f , C ″ )
成立 。

[2] 施恩伟 . 流形上的微积分 [M]. 北京 : 科学出版社 ,2004.

Another Explanation of the Integral Definition
CHEN Yin-lan1 SHI En-wei2 (1.Hubei Normal University, Huangshi 435002 ;2.Yunnan Normal University, Kunming 650092) Abstract :In this paper, it gave another explanation of the definition of the Riemann integral and Lebesgue integral. Key words :Riemann integral ;Lebesgue integral ;lattice
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