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2019届高考数学(文科)江苏版1轮复*练*:第4章 *面向量、数系的扩充与复数的引入 1 第1讲 分层演练

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1.下列等式:①0-a=-a;②-(-a)=a;③a+(-a)=0;④a+0=a;⑤a-b=a +(-b).正确的个数是________个.
[解析] a+(-a)=0,故③错. [答案] 4 2.(2018·盐城模拟)给出以下命题: ①对于实数 p 和向量 a,b,恒有 p(a-b)=pa-pb; ②对于实数 p,q 和向量 a,恒有(p-q)a=pa-qa; ③若 pa=pb(p∈R),则 a=b; ④若 pa=qa(p,q∈R,a≠0),则 p=q. 其中正确命题的序号为________. [解析] 根据实数与向量乘积的定义及其运算律可知,①②④正确;③不一定成立,因 为当 p=0 时,pa=pb=0,而不一定有 a=b. [答案] ①②④ 3.如图,已知A→B=a,A→C=b,B→D=3D→C,用 a,b 表示A→D,则A→D= ________. [解析] 因为C→B=A→B-A→C=a-b,又B→D=3D→C, 所以C→D=14C→B=14(a-b),所以A→D=A→C+C→D=b+14(a-b)=14a+34b. [答案] 14a+34b 4.已知 D,E,F 分别为△ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且B→C=a,C→A=b,给出下 列命题:①A→D=12a-b;②B→E=a+12b;③C→F=-12a+12b;④A→D+B→E+C→F=0. 其中正确命题的个数为________. [解析] B→C=a,C→A=b,A→D=12C→B+A→C=-12a-b,故①错; B→E=B→C+12C→A=a+12b,故②正确; C→F=12(C→B+C→A)=12(-a+b)=-12a+12b,故③正确; 所以A→D+B→E+C→F=-b-12a+a+12b+12b-12a=0. 所以正确命题为②③④. [答案] 3 5.若|A→B|=|A→C|=|A→B-A→C|=2,则|A→B+A→C|=________.

[解析] 因为|A→B|=|A→C|=|A→B-A→C|=2,所以△ABC 是边长为 2 的正三角形,所以|A→B+A→C |为△ABC 的边 BC 上的高的 2 倍,所以|A→B+A→C|=2 3.
[答案] 2 3
? 6.在 ABCD 中,A→B=a,A→D=b,A→N=3N→C,M 为 BC 的中点,则M→N=________(用

a,b 表示).

[解析] 由A→N=3N→C得 4A→N=3A→C=3(a+b),

A→M=a+12b,所以M→N=34(a+b)-??a+12b??=-14a+14b.

[答案] -14a+14b

7.(2018·河北省冀州中学高三月考改编)若 O 是△ABC 所在*面内一点,且满足|O→B-O→C

|=|O→B+O→C-2O→A|,则△ABC 的形状为________.

[解析] 根据题意有|O→B-O→C|=|O→B-O→A+O→C-O→A|,即|A→B+A→C|=|A→B-A→C|,从而得到

A→B⊥A→C,所以三角形为直角三角形.

[答案] 直角三角形

8.已知 a,b 是两个不共线的非零向量,且 a 与 b 起点相同,若 a,tb,13(a+b)三向量

的终点在同一直线上,则 t=________.

[解析] 因为 a,tb,13(a+b)三向量的终点在同一条直线上,且 a 与 b 起点相同.

所以 a-tb 与 a-13(a+b)共线.

即 a-tb 与23a-13b 共线.

所以存在实数 λ,使 a-tb=λ??23a-31b??,

?1=23λ, 所以??t=13λ,

解得 λ=32,t=12,

即 t=12时,a,tb,13(a+b)三向量的终点在同一条直线上.

[答案]

1 2

9.已知点 P 在△ABC 所在的*面内,若 2P→A+3P→B+4P→C=3A→B,则△PAB 与△PBC 的

面积的比值为________.

[解析] 由 2P→A+3P→B+4P→C=3A→B,得 2P→A+4P→C=3A→B+3B→P,所以 2P→A+4P→C=3A→P,

即 4P→C=5A→P.所以A→P=45P→C,P 点在边 AC 上,

→ 且||PA→CP||=45,设△ABC 中,AC 边上的高为 h,则 SS△△PPABBC=1212||PA→→CP||··hh=||PA→→CP||=45.

[答案]

4 5

10.在直角梯形 ABCD 中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2 3,BC=2,点 E 在线段

CD 上,若A→E=A→D+μA→B,则 μ 的取值范围是________.

[解析] 由题意可求得 AD=1,CD= 3,

所以A→B=2D→C.

因为点 E 在线段 CD 上,

所以D→E=λD→C(0≤λ≤1).

因为A→E=A→D+D→E,

又A→E=A→D+μA→B=A→D+2μD→C=A→D+2λμD→E,

所以2μλ =1,即 μ=2λ.因为 0≤λ≤1,所以 0≤μ≤12.

[答案] ??0,12??

11.设 i,j 分别是*面直角坐标系 Ox,Oy 正方向上的单位向量,且O→A=-2i+mj,O→B

=n i+j,O→C=5i-j,若点 A,B,C 在同一条直线上,且 m=2n,求实数 m,n 的值.

[解] A→B=O→B-O→A=(n+2)i+(1-m)j,

B→C=O→C-O→B=(5-n)i-2j.

因为点 A,B,C 在同一条直线上,

所以A→B∥B→C,从而存在实数 λ 使得A→B=λB→C.

即(n+2)i+(1-m)j=λ[(5-n)i-2j].

所以?????n1m+ -=m22== n,λ-(25λ-,n),解得?????mn==36,或?????mn==233.,

12.已知 O,A,B 是不共线的三点,且O→P=mO→A+nO→B(m,n∈R).

(1)若 m+n=1,求证:A,P,B 三点共线;

(2)若 A,P,B 三点共线,求证:m+n=1.

[证明] (1)若 m+n=1,

则O→P=mO→A+(1-m)O→B=O→B+m(O→A-O→B),

所以O→P-O→B=m(O→A-O→B),

即B→P=mB→A,

所以B→P与B→A共线.

又因为B→P与B→A有公共点 B,所以 A,P,B 三点共线.

(2)若 A,P,B 三点共线,则B→P与B→A共线,故存在实数 λ,

使B→P=λB→A,所以O→P-O→B=λ(O→A-O→B).

又O→P=mO→A+nO→B,

故有 mO→A+(n-1)O→B=λO→A-λO→B,

即(m-λ)O→A+(n+λ-1)O→B=0.

因为 O,A,B 不共线,所以O→A,O→B不共线,

所以???m-λ=0, 所以 ??n+λ-1=0,

m+n=1.




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